Эластичность

Эластичность

Эластичность часто обсуждается экономистами при рассмотрении различных вопросов. В этой статье мы вводим для вас понятие эластичности и приводим примеры, в которых это понятие применяется.

Определения

Точное и математически строгое определение

Эластичность (точечная эластичность, эластичность в точке) — отношение процентного изменения функции к процентному изменению аргумента. Эластичность показывает чувствительность функции к изменению и выражается формулой: $$\mathcal{E}^{f(x)}_x=\lim\limits_{\Delta x\to 0} \frac{\frac{\Delta f(x)}{f(x)}}{\frac{\Delta x}{x}}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}\times \frac{x}{f(x)}=f'(x)\times\frac{x}{f(x)}$$ Формулу стоит пояснить. Эта формула называется формулой точечной эластичности, так как мы смотрим эластичность в точке $(x, f(x))$ для какого-то зафиксированного $x$.

Очень грубое интуитивное определение

Эластичность показывает процентное изменение функции в результате изменения аргумента на один процент. Такое определение нужно экономистам, чтобы понимать и интерпретировать эластичность человеческим языком. Так экономист может сказать, что если спрос стал более эластичным, имея ввиду, что объем спроса изменяется сильнее при росте цены на один процент.

Другие виды эластичности

В реальности многие функции в экономике не наблюдаемы, поэтому существуют еще несколько альтернативных видов эластичности.

Эластичность через дельты

$$\mathcal{E}=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}\times \frac{x_1}{f(x_1)}$$ В этой формуле мы используем линейное приближение функции (считаем, что наша функция на участке от $x_0$ до $x_1$ линейная), поэтому первый множитель можно интерпретировать как производную линейной функции проходящей через точки $(x_0,f(x_0))$ и $(x_1, f(x_1))$.

Дуговая (средняя) эластичность

$$\mathcal{E}=\frac{ f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}\times\frac{\frac{x_1+x_0}{2}}{\frac{f(x_1)+f(x_0)}{2}}=\frac{ f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}\times\frac{x_1+x_0}{f(x_1)+f(x_0)}$$ Можно заметить, что первый множитель приблизительно равен производной (если $x_1-x_0$ достаточно мало). Дуговую эластичность можно интерпретировать как эластичность линейной функции проходящей через точки $(x_0, f(x_0))$ и $(x_1, f(x_1))$ в точке находящейся посередине этого отрезка.

Эластичности различных функций

Далее мы посмотрим на эластичности особенных для экономики функций.

Эластичность спроса по цене

Эластичность спроса показывает, насколько (в процентном отношении) упадет выпуск по отношению к росту цены.
Эластичность спроса почти всегда отрицательна, так как величина спроса при стандартных предпосылках убывает по цене (исключение: Товары Гиффена), а значит производная функции спроса отрицательна.
Эластичность играет большую роль при монополии. В таблице ниже представлена зависимость выручки монополиста от эластичности спроса.

Перекрестная эластичность спроса

Перекрестная эластичность спроса - эластичность спроса по цене другого товара.

$$\mathcal{E}_{p_2}^{Q_d^1}=\frac{Q_d^1(p_1, p_2)'_{p_2} \times p_2}{Q_d^1(p_1, p_2)}$$

Перекрестная эластичность показывает влияние цены другого товара на спрос. При рассмотрении перекрестной эластичности различают 3 типа отношений товаров. Если эластичность спроса на товар 1 по цене товара 2 положительна, то товары-комплементы (взаимодополняющие друг друга), если эластичность отрицательна, то это товары-субституты (взаимозаменяемые товары), а если эластичность равна нулю, то это независимые товары.

Эластичность спроса по доходу

Эластичность спроса по доходу считается как: $$\mathcal{E}^{Q_d(p, I)}_I=\frac{Q'_d(p, I)_II}{Q_d(p,I)},$$ где $Q'_d(p, I)_I$ — производная функции спроса по доходу.
В зависимости от эластичности спроса по доходу, различают 5 типов товаров.

Дополнительное определение эластичности

Еще одна формула эластичности, которой иногда удобно воспользоваться, если вам хватает математического аппарата.
$$\mathcal{E}^{f(x)}_{x}=\lim\limits_{\Delta\ln x\to 0}\frac{\Delta\ln f(x)}{\Delta\ln x}=\frac{\delta\ln f(x)}{\delta\ln x}$$ Если произнести эту формулу словами: производная логарифма функции по логарифму аргумента, но вы можете убедиться, что эта формула при раскрытии сводится к предыдущей. Эта формула с маленькой вероятностью пригодится вам на олимпиадах, однако он позволяет понимать литературу по экономики (так как прием представление спроса в логарифмическом виде используется часто). Также, такое представление помогает лучше запомнить факт про функции с постоянной эластичностью. Зададим спрос следующим образом: $ln Q = -2 ln P$. Если мы возведем $e$ в в степерь левой и правой части: $e^{ln Q} = e^{-2 ln P}$. Отсюда, по основному логарифмическому тождеству можем перейти к более привычной записи спроса: $Q=1/P^2$. Видно, что это стандартная запись спроса с постоянной эластичностью равной 2.

Q/A

Q: Почему бы вместо эластичности просто не использовать производную?
A: Производная функции спроса (как и любой другой функции) сама по себе ничего не значит, так как она имеет размерность (количество штук на единицу валюты) а, эластичность – безразмерная величина; ее использование исключает сложности, связанные с единицами и масштабами рассматриваемых величин.

Если у вас еще остались вопросы, то ответы на них можно найти на онлайн-курсах по экономике Экономический Олимп. Экономический Олимп –— с нами вы постигнете экономику. Наша миссия —— дать всем нашим ученикам возможность поступить в лучшие вузы страны.

Все темы