Математика для экономистов

Производная

Простое определение

Производная — скорость изменения функции в данной точке.

Строгое определение

Для формирования строгого определения необходимо знание пределов (но грубо говоря, предел — то куда стремится функция при приближении аргумента к какому-то значению).

Производная функции $f(x)$ в точке $x_0$ это $$f'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$$

Или другими словами, отношение приращения функции к приращению аргумента при небольших приращениях аргумента. По другому это же можно записать как $$f'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta f(x)}{\Delta x}$$

Геометрический смысл

С геометрической точки зрения производную функции можно интерпретировать как касательную

Правила дифференцирования

Чтобы решать задачи строгое определение чаще всего не нужно, но следующие правила вам могут оказаться полезными. Если производные от функций $f(x)$ и $g(x)$ существуют и равны $f'(x)$ и $g'(x)$ соответственно, то следующие выражения верны:

Производная константы:

$$(C)' = 0$$

Производная константы равна нулю, так как константа не изменяет своего положения при изменении аргумента.

Вынос константы из под производной:

$$(af(x))' = af'(x)$$

Производная произведения функции и числа равна произведению числа и производной функции.

Производная суммы (разности) функций:

$$(f(x)\pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x)$$

Производная суммы (разности) функций равна сумме (разности) производных функций — если мы складываем две функции, то их скорости тоже складываются.

Производная произведения функций:

$$(f(x)\times g(x))' = f'(x) \times g(x) + f(x) \times g'(x)$$

Производная частного функций:

$$\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)' = \dfrac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}$$

Просто запомните. То же самое можно получить воспользовавшись правилами производной сложной функции и произведения функций — раскладываем $\frac{f(x)}{g(x)}$ как $f(x)\times \frac{1}{g(x)}$ и берем производную произведения.

Производная сложной функции:

$$f(g(x))' = f'(g(x)) \times g'(x)$$

Арифметика производных:

Производные самых важных функций

$$(ax)' = a$$

$$(x^a)' = ax^{a-1}$$

$$(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$$

$$(e^x)' = e^x$$

$$\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}$$

$$(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$$

$$(a^x)' = \left(e^{x\ln a} \right)' = e^{x\ln a} \ln a = a^x \ln x$$

Прогрессии

Прогрессия — ряд увеличивающихся или уменьшающихся по какому-либо правилу чисел. Заметьте, что их бесконечно много, так как зная правило всегда можно построить новое число последовательности.

Арифметическая прогрессия и ее сумма

Арифметическая прогрессия — числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с d. Число d называется разностью прогрессии. Любой член арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

$$a_i = a_1 + d \times (i-1)$$

Чтобы найти сумму первых $n$ членов арифметической прогрессии, разобьем последовательность на пары — каждому элементу с номером $i$ сопоставим элемент номер $n+1+i$: первому элементу будет соответствовать последний, второму – предпоследний и так далее (если количество элементов нечетно, то элемент посередине назовем парой). Заметим, что сумма элементов каждой из пар одинаковая, она равна $2a_1+d(n-1)$, а пар всего $n/2$, значит формула суммы будет –

$$\sum\limits_{arithm} = (a_1 + d(n-1)) \times \dfrac{n}{2} = \dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$$

Геометрическая прогрессия и ее сумма

Геометрическая прогрессия — числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на число $q>0$.Число $q$ называется знаменателем прогрессии. Любой член геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

$$b_i = b_1 \times q^{i-1}$$

Сумму первых n членов геометрической прогрессии можно найти по формуле:

$$\sum\limits_{geom} = \dfrac{b_1 (q^n - 1) }{q-1}$$

Сумма бесконечно убывающей прогрессии

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия — геометрическая прогрессия, у которой $0 < q < 1$. Для неё определяется понятие суммы всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, а именно: $$\sum\limits_{geom} = \dfrac{b_1}{1-q}$$

Если у вас еще остались вопросы, то ответы на них можно найти на онлайн-курсах по экономике Экономический Олимп. Экономический Олимп – с нами вы постигнете экономику. Наша миссия — дать всем нашим ученикам возможность поступить в лучшие вузы страны.

Все темы